До какой температуры вследствие адиабатного сжатия

Пример 1.
Определите количество теплоты, поглощаемое водородом массой 0,2кг при
нагревании его от температуры 0˚C до температуры 100˚C при
постоянном давлении. Найдите также изменение внутренней энергии газа и
совершаемую им работу.

Дано

Решение

m=0,2кг

t1=0˚C,

Т1=273К

t2=100˚C,

Т2=373К

________________

∆U – ? Q – ? А – ?

Количество теплоты, поглощаемое газом при изобарном нагревании:

,(1)

где m – масса нагреваемого газа, cp – его удельная теплоемкость
при постоянном давлении, ∆T – изменение температуры газа. Как известно,

.

Подставив cp в формулу (1), получим:

.

Внутренняя энергия:

.

Следовательно, изменение внутренней энергии

.

Работу расширения газа определим из первого начала термодинамики:

, откуда .

Произведя вычисления, найдем Q=291кДж; А=83кДж,
∆U=208кДж

Пример 2. 10г кислорода находятся
под давлением 300кПа при температуре 10˚C. После нагревания при р=const
газ занял объем 10л. Найдите количество теплоты Q, полученное газом,
изменение ∆W внутренней энергии газа и работу А, совершенную газом при
расширении.

Дано

Решение

m=10-2кг

р=3×105Па

Ср=29,1Дж/моль·К

t=10˚C

Т=283К

V=10л=10-2м3

________________

А-? Q-? ∆U-?

Количество теплоты, полученное газом, определяется следующим
соотношением:

Молярная теплоемкость кислорода при р=const;
Ср=29,1Дж/моль·К. Запишем уравнение состояния газа до и после нагревания:

Вычитая из (3) уравнение (2), получим:

Из (2) выразим

Из (4) для ∆T с учетом (5):

Тогда уравнение (1) можно записать в виде:

.

Изменение внутренней энергии кислорода:

.

или, подставляя (6):

.

Работа, совершаемая при изменении объема газа:

или с учетом (5)

.

Произведя вычисления, получим: А=2,26 кДж, Q=7,92кДж,
∆U =5,66кДж

Пример 3 . Кислород занимает объем
1м3 и находится под давлением 200кПа. Газ нагрели сначала при
постоянном давлении до объема 3м3, а затем при постоянном объеме
до давления 500кПа. Постройте график процесса и найдите: 1) изменение
∆U внутренней энергии газа; 2) совершенную им работу А; 3) количество
теплоты Q, переданное газу.

Дано

Решение

V1=1м3

р1=2×105Па

V2=3м3

р2=5×105Па

________________

∆U-? А-? Q-?

Построим график процесса.

На графике точками 1,2,3 обозначены состояния газа, характеризуемые
параметрами (р1, V1, T1), (р1, V2,
T2), (р2, V2, T3).

1) Изменение внутренней энергии газа при переходе его из
состояния 1 в состояние 3 равно , где cv – удельная
теплоемкость газа при постоянном объеме; m – масса газа; ∆T – разность
температур, соответствующих конечному 3 и начальному 1 состояниям; т.е. .

Так как ,

где μ – молярная масса газа, то

Температуры T1 и T3 выразим из уравнения Менделеева –
Клапейрона

: ,
.

С учетом этого, равенство (1) перепишем в виде:

2) Полная работа, совершаемая газом: А=А1+А2,
где А1 – работа на участке 1-2; А2 – работа на участке
2-3. На участке 1-2 давление постоянно (p=const). Работа в этом случае: А1=р1.
На участке 2-3 объем газа не изменяется и, следовательно, работа газа на этом
участке равна нулю (А2=0). Таким образом

3) Согласно первому началу термодинамики количество теплоты
Q, переданное газу, равно сумме работы А, совершенной газом, и изменению
∆U внутренней энергии:

Произведем вычисления по формулам (2), (3), (4):
Q=3,65МДж, ∆U=3,25МДж, А=0,4МДж.

Пример 4. Работа изотермического
расширения 10г газа от объема V1 до V2=2V1
оказалась равной 575Дж. Найдите среднюю квадратичную скорость молекул газа
при этой температуре.

Дано

Решение

m=10-2кг

А=575Дж

________________

<υкв> – ?

Работа изотермического расширения газа

.

Тогда:

Средняя квадратичная скорость молекул:

Из выражения (1) найдем

Подставим (3) в формулу (2), получим

Произведем вычисления: <υкв>=500м/с.

Пример 5. Вычислите показатель
адиабаты смеси водорода и неона, если массовые доли газов в смеси одинаковы.

Дано

Решение

k=0,5

i1=5

i2=3

μ2=20.10-3кг/моль

μ1=2.10-3кг/моль

________________

γ-?

Показатель адиабаты равен ,

где сp и cv – удельные теплоемкости
при постоянном давлении и постоянном объеме.

Удельную теплоемкость при постоянном объеме смеси газа
найдем, используя соотношения:

Из соотношений (1) и (2) следует

где и – массовые
доли водорода и неона, соответственно. Учитывая, что k1=k2,
получаем

Рассуждая аналогично, получим формулу для вычисления
удельной теплоемкости при постоянном давлении

.

Учитывая, что и , получим ,
,
отсюда

Вычисления дают γ=1,42.

Пример 6. При адиабатном расширении объем азота увеличился
в пять раз, а внутренняя энергия уменьшилась на 4кДж. Определите массу азота,
если начальная температура его была 400К.

Дано

Решение

При адиабатном расширении произошло изменение внутренней энергии ,

отсюда

Для определения температуры T2 используем
уравнение адиабаты,

откуда

,

тогда

Подставив (2) в (1), получим

Произведем расчеты по формуле (3), получим m=28г.

Пример 7. Идеальный двухатомный газ,
занимающий объем 4л при давлении 300кПа, расширяется адиабатно до объема 6л.
Затем в ходе изохорного охлаждения давление газа падает до 100кПа. Определите
работу газа, изменение внутренней энергии и количество теплоты, отданное
газом. Изобразите процесс графически.

Дано

Решение

V1=4·10-3м-3

V2=6·10-3 м-3

p1=3·105Па

p3=105Па

________________

Изобразим процесс графически на рV – диаграмме

Работа газа . Работа A23=0, т.к.
участок 2→3 изохорный процесс. Тогда A=A12. При адиабатном
процессе

Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для состояний 1 и
2

Теперь формулу (1) преобразуем с учетом (2), к виду:

Из уравнения адиабаты следует, что ; тогда

Решая совместно уравнения (3) и (4), получаем

Изменение внутренней энергии или, с
учетом уравнения Менделеева-Клапейрона,

Количество теплоты, отданное газом, . При
адиабатном процессе , тогда . При изохорном процессе

или, с учетом уравнения Менделеева-Клапейрона,

Произведем вычисления по формулам (5), (6) и (7):

Пример 8. Идеальный двухатомный газ
расширяется согласно уравнению , где n=1,2.
При расширении объем газа увеличивается в 2 раза. Определите изменение внутренней
энергии газа и совершенную им работу, если в начале процесса объем газа был
равен 6л, а давление – 2·105 Па. Чему равна молярная теплоемкость
в этом процессе?

Дано

Решение

V1=6·10-3м3

P1=2·105Па

V2=12·10-3м3

n=1,2

_________________

∆U; A; C – ?

Процесс расширения газа является политропическим.

Изменение внутренней энергии газа можно рассчитать по
формуле

Данное выражение преобразуем, используя уравнение Менделеева-
Клапейрона:

Давление p2 найдем, используя уравнение политропы
pVn=const, откуда

,

тогда

Из (2) и (1), следует, что

Работу газа рассчитывают по формуле

.

Так как , то .

Подставим это выражение в формулу для работы:

Учитывая, что ,

Молярная теплоемкость газа

С учетом выражений (1) и (4) первое начало термодинамики
запишем в виде

,

или

.

Используя уравнение Менделеева-Клапейрона, имеем

Подставим выражение (6) в (5):

Произведем вычисления по формулам (3), (4) и (7):

.

Пример 9. Водород массой 20г
находится в цилиндре под поршнем при температуре 300К. При адиабатном
расширении объем водорода увеличился в пять раз. Затем при изотермическом
сжатии объем водорода уменьшился до первоначального значения. Изобразите
процесс графически. Определите совершенную водородом работу и его конечную
температуру.

Дано

Решение

m=0,02кг

T1=300K

________________

T2; A-?

Изобразим процесс графически на рV -диаграмме

Для определения температуры T2 воспользуемся
уравнением адиабаты

,

отсюда

Работа водорода . Работу A12
при адиабатическом расширении определим по формуле

.

Работу A23 при изотермическом сжатии найдем по
формуле

.

Тогда

Произведем вычисления по формулам (1) и (2): T2=158K;
A=8,8кДж.

Пример 10. Найти для идеального газа
уравнение такого процесса, при котором теплоемкость газа изменяется с
температурой по закону С=α/Т, где α=const.

Дано

Решение

С=α/Т

а=const

_________________

Урав-ие проц-са – ?

Процесс не политропный. Поэтому применив первое начало
термодинамики в форме

.

для одного моля газа:

Используя уравнение Менделеева-Клапейрона перепишем это
уравнение в виде

Разделив левую и правую части на RT, после интегрирования
получаем

.

Отсюда находим искомое уравнение процесса:

.

Пример 11. Некоторый газ массой 1 кг находится при температуре Т=300 К и под давлением р1=0,5 МПа. В результате
изотермического сжатия давление газа увеличилось в два раза. Работа,
затраченная на сжатие, А=-432 кДж. Определите: 1) какой это газ; 2) первоначальный
удельный объем газа.

Дано

Решение

m=1 кг

Т=300 К

р1=5·105Па

р2=2р1

А=-4,32 105Дж

________________

газ-?

υ1-?

, , ;

, ,

, ,

, .

Произведем вычисления: газ- гелий; υ1 =
1,25 м3/кг.

Пример 12. В цилиндрах
карбюраторного двигателя внутреннего сгорания газ сжимается политропически
так, что после сжатия температура газа становится равной t2 =427оC.
Начальная температура t1=140оC газа. Степень сжатия V2
/V1=5,8. Найти показатель политропы n.

Дано

Решение

t2=427оC

V2/V1=5,8

t1=140оC

_________________

n-?

Из уравнения политропического процесса:

или .

Прологарифмируем полученное выражение:

или ,

откуда

;

n=1,3

Пример 13. Работа расширения
некоторого двухатомного идеального газа составляет А=2 кДж. Определите
количество подведенной к газу теплоты, если процесс протекал: 1) изотермически;
2) изобарно.

Дано

Решение

А=2кДж=2 103Дж

I=5

1) Т=const

2) p=const

________________

Q1-?

Q2-?

Рис. 6

, ,
,
;

, , , ,

, , ,

.

Вычисляем Q1 = 2кДж; Q2 = 7кДж.

Пример 14. В цилиндрах
карбюраторного двигателя внутреннего сгорания газ сжимается политропически до
V2=V1/6. Начальное давление р1=90 кПа,
начальная температура t1=127oC. Найти давление р и
температуру t газа в цилиндрах после сжатия. Показатель политропы n=1,3.

Дано

Решение

V2=V1/6

t1=127oC

n=1,3

р1=90 кПа

_________________

р2-?

t2-?

Уравнение политропического процесса

По условию , следовательно,

,

откуда . Из уравнения
политропического процесса

или

Пример 15. Кислород, занимающий при
давлении р1=1МПа объем V1=5л, расширяется в n=3 раза.
Определите конечное давление и работу, совершенную газом. Рассмотрите следующие
процессы: 1) изобарный; 2) изотермический; 3) адиабатный.

Дано

Решение

m=32 10-3
кг/моль

i=5

р1=106Па

V1=5л=5 10-3м3

V=nV1

п = 3

1) р=const

2) T=const

3) Q=0

_________________

p-?

A-?

,,

, , ,
,

Произведем вычисления по формулам (1)-(6):

1) p=1 Мпа, А=10 кДж;

2) p=0,33 Мпа, А=5,5кДж;

3) p=0,21 Мпа, А=4,63кДж.

Пример 16. Два моля азота N2,
находившиеся при нормальных условиях, сначала изотермически перевели в
некоторое состояние, а затем квазистатически и адиабатно – в конечном
состояние с объемом, в четыре раза большим начального. Определить работу,
совершенную газом, если в изотермическом процессе ему было сообщено Q=11300
Дж теплоты.

Дано

Решение

Т=273К

p=105Па

V2=4V1

Q=11300 Дж

_________________

А-?

Определим промежуточное и конечное макросостояния системы.
Уравнение Менделеева-Клапейрона приводит к неопределенной системе уравнений.
Используем первое начало термодинамики. Для изотермического процесса

где А1─ работа, совершаемая газом в
изотермическом процессе. Отсюда определяем объем промежуточного состояния: ,
далее, используя уравнение адиабатного процесса, находим
конечную температуру

В этих формулах – показатель адиабаты.
По формуле , получаем изменение внутренней
энергии:

Отсюда получаем А ≈ 4500 Дж. Заметим, что после
нахождения параметров макросостояний можно было бы рассчитывать искомую
работу и непосредственно по формуле

Пример 17 . Газ расширяется
адиабатически, причем объем его увеличивается вдвое, а термодинамическая
температура падает в 1,32 раза. Какое число степеней свободы i имеют молекулы
этого газа?

Дано

Решение

________________

Показатель адиабаты . Из уравнения Пуассона

.

По условию и тогда

или

Отсюда

Тогда

Пример 18. При адиабатном расширении
кислорода (ν=2 моль), находящегося при нормальных условиях, его объем
увеличился в n=3 раза. Определите: 1) изменение внутренней энергии газа; 2)
работу расширения газа.

Дано

Решение

ν=2 моль

Т1=273К

V2=nV1

n=

_________________

ΔU-?

A-?

, Q=0, ,

, , i= ,

, , ,

, (1)

Вычисляем по (1) и (2): ΔU=-4,03кДж; A=4,03кДж.

Пример 19. Некоторая масса кислорода
занимает объем V1 = 3 л при температуре t1=27°C и
давлении р1=820кПа. В другом состоянии газ имеет параметры V2=4,5
л и р2=600кПа. Найти количество теплоты Q, полученное газом,
работу А, совершенную газом при расширении, и изменении ΔU внутренней
энергии газа при переходе газа из одного состояния в другое: а) по участку
АСВ; б) по участку ADB.

Дано

Решение

V1 = 3л

t1= 27°C

р1= 820кПа

V2 = 4,5л

р2 = 600кПа

_________________

Q-?

А-?

ΔU-?

а) По участку АСВ: участок АС — изохора, т.е. А1
= 0, поскольку ΔV = 0. Следовательно,

.

Согласно уравнению Менделеева – Клапейрона

и

Вычтем уравнение (2) из (1), тогда

.

Отсюда ; Q1=1,65 кДж.

Участок СВ – изобара, следовательно,

; А2=0,9 кДж.

Изменение внутренней энергии

.

Согласно уравнению Менделеева – Клапейрона

и

Вычтем (3) из (4), тогда

.

Отсюда

; ΔU2 = 2,25 кДж.

Таким образом, на всем участке АСВ: работа

А = А2 = 0,9 кДж;

изменение внутренней энергии

кДж.

Согласно первому началу термодинамики количество тепла

кДж.

б) Аналогично на участке ADB: работа

кДж;

изменение внутренней энергии

кДж;

количество тепла кДж.